Конференции
Май 2023

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИИ

Харитонов Максим Александрович
учитель математики
МБОУ СОШ № 9 им. П.А.Столыпина г. Балашова Саратовской области

Вычисление пределов – важная часть математического анализа, поскольку практически весь курс математического анализа опирается на понятие предела. При решении задач на пределы иногда возникают такие случаи, когда подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределенным выражениям, символически обозначаемым как ,
, ∞∙0, ∞−∞, 00, ∞0, 1.

Дифференциальное исчисление значительно облегчает задачу раскрытия неопределённостей, предоставляя в наше распоряжение весьма мощный и в тоже время простой метод. В основе этого метода лежит использование теорем о средних значениях.

Определение предела функции

Одним из основных в математике является понятие предела, связанное с поведением функции при изменении аргумента, т.е. как именно величина функции меняется при изменении аргумента.

Рассмотрим функцию непрерывно изменяющегося аргумента х. Пусть х стремится к некоторому числу ( ). Введем понятие окрестности точки .

Определение

окрестностью точки называется интервал , где −некоторое положительное число.

Если , то выполняется неравенство , или, что-то же, . Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в −окрестность точки (рис. 1).



Рис. 1. δ −окрестность точки x0

Рассмотрим поведение функции вблизи точки . Считаем, что функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Пусть при неограниченном приближении аргумента х к значения функции неограниченно приближаются к числу А. Это записывается так: при . Данный факт означает, что с приближением х к разность становится как угодно малой и, какое бы число не было выбрано заранее, наступит такой момент в изменении , когда будет выполняться неравенство .

В данном случае рассматриваются значения функции при значениях аргумента х, близких к и не равных , т.е. для х, лежащих в интервале , что равносильно выполнению неравенства .

Утверждение « , если » означает, что для любого заранее заданного положительного числа можно найти такой интервал около точки , что для всех из этого интервала, выполняется неравенство .

Очевидно, что величина δ зависит от выбора , поэтому пишут . Если функция изменяется именно так при , то число А называется пределом функции при .

Определение

Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного числа , найдется такое положительное число δ, зависящее от , что для всех и, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Записывают:

.

Иными словами, числовые значения функции будут заключены в произвольной −окрестности числа А при условии, что числовые значения аргумента х взяты в достаточно малой δ−окрестности числа (исключая само число ). Из определения следует, что закон, по которому , безразличен: х может стремиться к возрастая или убывая, или колеблясь около .

Точка называется предельной точкой.

Поясним понятие предела геометрически. Если , то для всех точек , отстоящих от точки не далее чем на δ, точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 , ограниченной прямыми и (рис. 2).



Рис. 2. Геометрическое пояснение понятия предела

Условие существования предела функции

Установим связь между односторонними пределами и пределом функции в точке .

Из определения предела функции следует, что если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем

.

Верно и обратное: если существуют и то они равны, то существует предел . Справедлива следующая теорема.

Теорема

Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно существование в этой точке пределов справа и слева и выполнение равенства

.

Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует или равен бесконечности, то не существует и предела функции в точке .

1.3. Основные теоремы о пределах

Приведем без доказательства теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций.

Пусть и − функции, для которых существуют пределы при (или ), т.е. и .

Теорема

Если функция постоянна, то ее предел равен ей самой:

.

Теорема

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

.

Следствие

Функция может иметь только один предел при .

Теорема

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

.

Следствие

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие

Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

.

Теорема

Если предел функции отличен от нуля, то предел обратной ей по величине функции равен обратной величине предела данной функции:

.

Теорема

Предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:

.

Теорема

Если для функции существует , то

.

Вычисление пределов функций

Правило. Для вычисления предела функции в точке или при надо применить теоремы о пределах и подставить предельное значение аргумента.

Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

.

Примеры

Найти пределы функций:



Сложными случаями при решении задач на пределы являются те, когда подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределенным выражениям, символически обозначаемым как
,
, ∞∙0, ∞−∞, 00, ∞0, 1. Нахождение предела в этом случае называется раскрытием неопределенности. В следующей главе будет рассмотрены элементарные приёмы раскрытия неопределенностей и методы, использующие понятие производной, а именно: правило Лопиталя.