Харитонов Максим Александрович
учитель математики
МБОУ СОШ № 9 им. П.А.Столыпина г. Балашова Саратовской области
Вычисление пределов – важная часть математического анализа, поскольку практически весь курс математического анализа опирается на понятие предела. При решении задач на пределы иногда возникают такие случаи, когда подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределенным выражениям, символически обозначаемым как ,
, ∞∙0, ∞−∞, 00, ∞0, 1∞.
Дифференциальное исчисление значительно облегчает задачу раскрытия неопределённостей, предоставляя в наше распоряжение весьма мощный и в тоже время простой метод. В основе этого метода лежит использование теорем о средних значениях.
Определение предела функции
Одним из основных в математике является понятие предела, связанное с поведением функции при изменении аргумента, т.е. как именно величина функции меняется при изменении аргумента.
Рассмотрим функцию непрерывно изменяющегося аргумента х. Пусть х стремится к некоторому числу ( ). Введем понятие окрестности точки .
Определение
−окрестностью точки называется интервал , где −некоторое положительное число.
Если , то выполняется неравенство , или, что-то же, . Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в −окрестность точки (рис. 1).
Рис. 1. δ −окрестность точки x0
Рассмотрим поведение функции вблизи точки . Считаем, что функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Пусть при неограниченном приближении аргумента х к значения функции неограниченно приближаются к числу А. Это записывается так: при . Данный факт означает, что с приближением х к разность становится как угодно малой и, какое бы число не было выбрано заранее, наступит такой момент в изменении , когда будет выполняться неравенство .
В данном случае рассматриваются значения функции при значениях аргумента х, близких к и не равных , т.е. для х, лежащих в интервале , что равносильно выполнению неравенства .
Утверждение « , если » означает, что для любого заранее заданного положительного числа можно найти такой интервал около точки , что для всех из этого интервала, выполняется неравенство .
Очевидно, что величина δ зависит от выбора , поэтому пишут . Если функция изменяется именно так при , то число А называется пределом функции при .
Определение
Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного числа , найдется такое положительное число δ, зависящее от , что для всех и, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Записывают:
.
Иными словами, числовые значения функции будут заключены в произвольной −окрестности числа А при условии, что числовые значения аргумента х взяты в достаточно малой δ−окрестности числа (исключая само число ). Из определения следует, что закон, по которому , безразличен: х может стремиться к возрастая или убывая, или колеблясь около .
Точка называется предельной точкой.
Поясним понятие предела геометрически. Если , то для всех точек , отстоящих от точки не далее чем на δ, точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 , ограниченной прямыми и (рис. 2).
Рис. 2. Геометрическое пояснение понятия предела
Условие существования предела функции
Установим связь между односторонними пределами и пределом функции в точке .
Из определения предела функции следует, что если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем
.
Верно и обратное: если существуют и то они равны, то существует предел . Справедлива следующая теорема.
Теорема
Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно существование в этой точке пределов справа и слева и выполнение равенства
.
Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует или равен бесконечности, то не существует и предела функции в точке .
1.3. Основные теоремы о пределах
Приведем без доказательства теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций.
Пусть и − функции, для которых существуют пределы при (или ), т.е. и .
Теорема
Если функция постоянна, то ее предел равен ей самой:
.
Теорема
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:
.
Следствие
Функция может иметь только один предел при .
Теорема
Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
.
Следствие
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие
Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:
.
Теорема
Если предел функции отличен от нуля, то предел обратной ей по величине функции равен обратной величине предела данной функции:
.
Теорема
Предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:
.
Теорема
Если для функции существует , то
.
Вычисление пределов функций
Правило. Для вычисления предела функции в точке или при надо применить теоремы о пределах и подставить предельное значение аргумента.
Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство
.
Примеры
Найти пределы функций:
Сложными случаями при решении задач на пределы являются те, когда подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределенным выражениям, символически обозначаемым как
,
, ∞∙0, ∞−∞, 00, ∞0, 1∞. Нахождение предела в этом случае называется раскрытием неопределенности. В следующей главе будет рассмотрены элементарные приёмы раскрытия неопределенностей и методы, использующие понятие производной, а именно: правило Лопиталя.
учитель математики
МБОУ СОШ № 9 им. П.А.Столыпина г. Балашова Саратовской области
Вычисление пределов – важная часть математического анализа, поскольку практически весь курс математического анализа опирается на понятие предела. При решении задач на пределы иногда возникают такие случаи, когда подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределенным выражениям, символически обозначаемым как ,
, ∞∙0, ∞−∞, 00, ∞0, 1∞.
Дифференциальное исчисление значительно облегчает задачу раскрытия неопределённостей, предоставляя в наше распоряжение весьма мощный и в тоже время простой метод. В основе этого метода лежит использование теорем о средних значениях.
Определение предела функции
Одним из основных в математике является понятие предела, связанное с поведением функции при изменении аргумента, т.е. как именно величина функции меняется при изменении аргумента.
Рассмотрим функцию непрерывно изменяющегося аргумента х. Пусть х стремится к некоторому числу ( ). Введем понятие окрестности точки .
Определение
−окрестностью точки называется интервал , где −некоторое положительное число.
Если , то выполняется неравенство , или, что-то же, . Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в −окрестность точки (рис. 1).
Рис. 1. δ −окрестность точки x0
Рассмотрим поведение функции вблизи точки . Считаем, что функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Пусть при неограниченном приближении аргумента х к значения функции неограниченно приближаются к числу А. Это записывается так: при . Данный факт означает, что с приближением х к разность становится как угодно малой и, какое бы число не было выбрано заранее, наступит такой момент в изменении , когда будет выполняться неравенство .
В данном случае рассматриваются значения функции при значениях аргумента х, близких к и не равных , т.е. для х, лежащих в интервале , что равносильно выполнению неравенства .
Утверждение « , если » означает, что для любого заранее заданного положительного числа можно найти такой интервал около точки , что для всех из этого интервала, выполняется неравенство .
Очевидно, что величина δ зависит от выбора , поэтому пишут . Если функция изменяется именно так при , то число А называется пределом функции при .
Определение
Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного числа , найдется такое положительное число δ, зависящее от , что для всех и, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Записывают:
.
Иными словами, числовые значения функции будут заключены в произвольной −окрестности числа А при условии, что числовые значения аргумента х взяты в достаточно малой δ−окрестности числа (исключая само число ). Из определения следует, что закон, по которому , безразличен: х может стремиться к возрастая или убывая, или колеблясь около .
Точка называется предельной точкой.
Поясним понятие предела геометрически. Если , то для всех точек , отстоящих от точки не далее чем на δ, точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 , ограниченной прямыми и (рис. 2).
Рис. 2. Геометрическое пояснение понятия предела
Условие существования предела функции
Установим связь между односторонними пределами и пределом функции в точке .
Из определения предела функции следует, что если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем
.
Верно и обратное: если существуют и то они равны, то существует предел . Справедлива следующая теорема.
Теорема
Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно существование в этой точке пределов справа и слева и выполнение равенства
.
Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует или равен бесконечности, то не существует и предела функции в точке .
1.3. Основные теоремы о пределах
Приведем без доказательства теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций.
Пусть и − функции, для которых существуют пределы при (или ), т.е. и .
Теорема
Если функция постоянна, то ее предел равен ей самой:
.
Теорема
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:
.
Следствие
Функция может иметь только один предел при .
Теорема
Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
.
Следствие
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие
Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:
.
Теорема
Если предел функции отличен от нуля, то предел обратной ей по величине функции равен обратной величине предела данной функции:
.
Теорема
Предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:
.
Теорема
Если для функции существует , то
.
Вычисление пределов функций
Правило. Для вычисления предела функции в точке или при надо применить теоремы о пределах и подставить предельное значение аргумента.
Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство
.
Примеры
Найти пределы функций:
Сложными случаями при решении задач на пределы являются те, когда подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределенным выражениям, символически обозначаемым как
,
, ∞∙0, ∞−∞, 00, ∞0, 1∞. Нахождение предела в этом случае называется раскрытием неопределенности. В следующей главе будет рассмотрены элементарные приёмы раскрытия неопределенностей и методы, использующие понятие производной, а именно: правило Лопиталя.